向上取整和向下取整（ceil、round）

• Floor and ceiling functions - Wikipedia
• Useful Properties of the Floor and Ceil Functions

0. 基础

• 向上取整：比自己大的最小整数；
• 向下取整：比自己小的最大整数；
• 四舍五入：更接近自己的整数；

x−1<⌊x⌋≤x≤⌈x⌉<x+1 $$x-1<lfloor x floor leq xleq lceil x ceil < x+1$$

⌊n/2⌋+⌈n/2⌉=n $$lfloor n/2 floor+lceil n/2 ceil=n$$

⌈ab⌉≤a+(b−1)b $$leftlceilfrac ab ight ceilleq frac{a+(b-1)}{b}$$

⌊ab⌋≥a−(b−1)b $$leftlfloorfrac ab ight floorgeq frac{a-(b-1)}{b}$$

1. 编程实现

a/b
        // 向下取整
(a+(b-1))/b 
        // 向上取整
int（float(a)/b + .5） 
        // 四舍五入

向下取整：ab向上取整：a+b−1b四舍五入：int(a×1.b+0.5) $$egin{split} &向下取整：frac ab\ &向上取整：frac{a+b-1}b\ &四舍五入： ext{int}(frac{a imes 1.}{b}+0.5) end{split}$$

之所以在向上取整时，分子部分要减去1，是为了避免出现，a 能被 b 整除的情况。

12 / 3 == 4， （12+3）/3==5，而对 3 向上取整仍为 3.

2. 其他角度的理解

• y−1<x≤y$y-1lt xleq y$ ⇒ x=⌊y⌋$x=lfloor y floor$

• y≤x<y+1$yleq xlt y+1$ ⇒ x=⌈y⌉$x=lceil y ceil$

3. 对数

⌈log2(n+1)⌉−1=⌊log2n⌋⌈log2(n+1)⌉=⌊log2n⌋+1 $$lceillog_2(n+1) ceil-1=lfloorlog_2n floor\ lceillog_2(n+1) ceil=lfloorlog_2n floor+1$$

对于对数取整，有如下基本性质：

{k=⌊logbx⌋⇔k≤logbx<k+1⇔bk≤x<bk+1k=⌈logbx⌉⇔k−1<logbx≤k⇔bk−1≤x<bk $$left{ egin{split} &k=lfloorlog_bx floor Leftrightarrow kleq log_bxlt k+1Leftrightarrow b^kleq x lt b^{k+1}\ &k=lceil log _bx ceil Leftrightarrow k-1lt log_b xleq k Leftrightarrow b^{k-1}leq x lt b^k end{split} ight.$$

4. 一些补充

• （1）a+(a+1)2=a$frac{a+(a+1)}2=a$，也即两个连续的整数（a,a+1$a, a+1$）中间的数，就是左边的数，0,1 ⇒ 0
• （2）编程语言整数之间的除法，是向下取整，
  
  • 1/2 ⇒ 0
  • -1/2 ⇒ -1