§15.3其它柱函数
15.3.1三类柱函数
1.第一类柱函数−Bessel函数
(1)定义J ±v (x)=∑ k=0 ∞ (−1) k k!Γ(±v+k+1) (x2 ) 2k±v (1)−第一类柱函数
2.第二类柱函数−Neuman函数
(1)定义N v (x)=cosvπJ v (x)−J −v (x)sinvπ (2)−第二类柱函数
(2)无论v=n与否,J v (x)与N v (x)均为v阶的Bessel方程的线性无关的解.
通解:y C (x)=A v J v (x)+B v N v (x)
∵当v≠n：N v (x)J v (x) =cosvπJ v (x)−J −v (x)sinvπJ v (x)
=1sinvπ [cosvπ−J −v (x)J v (x) ]≠常数
当v=n:
①N n (x)=1π [∂J v (x)∂v −(−1) n ∂J −v (x)∂v ] v=n (3)
②N n (x)=2π J n (x)lnx2 −1π ∑ k=0 n−1 (n−k−1)!k! (x2 ) 2k−n
−1π ∑ k=0 ∞ (−1) k k!(n+k)! [ψ(k+1)+ψ(n+k+1)](x2 ) 2k+n
ψ(1)=−v=−0.577216,ψ(k+1)=−v+1+12 +⋯+1k
③N n (x)是n阶Bessel的解;因为由下可知(3)式满足贝塞尔方程.
x 2 J ′′ ±v (x)+xJ ′ ±v (x)+(x 2 −v 2 )J ±v (x)=0(1)
x 2 d 2 dx 2 ∂J v ∂v +xddx ∂J v ∂v +(x 2 −v 2 )∂J v ∂v −2vJ v (x)=0(2)
x 2 d 2 dx 2 ∂J −v ∂v +xddx ∂J −v ∂v +(x 2 −v 2 )∂J −v ∂v −2vJ −v (x)=0(3)
[(2)−(−1) n ⋅(3)]1π :(v→n)
x 2 N ′′ n (x)+xN ′ n (x)+(x 2 −n 2 )N n (x)=0(4)
①N n (x)=1π [∂J v (x)∂v −(−1) n ∂J −v (x)∂v ] v=n (3)
④N n (x)与J n (x)线性无关;
becausex→0:J 0 (x)=∑ k=0 ∞ (−1) k (k!) 2 (x2 ) 2k →1,
J n (x)=∑ k=0 ∞ (−1) k k!(n+k)! (x2 ) 2k+n →0,n≥1
x→0:N 0 (x)≈2π J 0 (x)lnx2 ≈2π lnx2 →∞,
N n (x)≈−(n−1)!π (x2 ) −n →−∞
3.第三类柱函数−Hankel函数
(1)定义{H (1) v (x)=J v (x)+iN v (x)H (2) v (x)=J v (x)−iN v (x) (4)−第三类柱函数
(2)无论v=n与否,H (1) v (x)与H (2) v (x)均为v阶的Bessel方程的线性无关的解.
4.三类柱函数的关系
(1)H (1) v (x),H (2) v (x),J v (x),N v (x)互相之间均线性无关.
(2)三类柱函数的关系为
⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ H (1) v (x)=J v (x)+iN v (x)H (2) v (x)=J v (x)−iN v (x)J v (x)=H (1) v (x)+H (2) v (x)2 N v (x)=H (1) v (x)−H (2) v (x)2i
15.3.2球Bessel函数
1.球Bessel方程及其解
Δu+λu=0−−−−→ 令u=R(r)Θ(θ)Φ(φ)
⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ Φ ′′ +m 2 Φ=0Φ m (φ)=A m cosmφ+B m sinmφ1sinθ ddθ (sinθdΘdθ )+[l(l+1)−m 2 sin 2 θ ]Θ=0Θ(θ)=p m l (cosθ)r 2 R ′′ +2rR ′ +[k 2 r 2 −l(l+1)]R=0(5)
x 2 y ′′ +2xy ′ +[x 2 −l(l+1)]y=0(6)
x 2 v ′′ +xv ′ +[x 2 −(l+12 ) 2 ]v=0(7)
(5)(6)(7)称为球Bessel方程
(7)→v(x)=J l+12 (x),N l+12 (x),H (1) l+12 (x),H (2) l+12 (x),
(6)→y(x)=1x √ J l+12 (x),1x √ N l+12 (x),1x √ H (1) l+12 (x),1x √ H (2) l+12 (x)
2.球Bessel函数
(1)定义⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ j l (x)=π2x − − − √ J l+12 (x)−l阶球Bessel函数n l (x)=π2x − − − √ N l+12 (x)−l阶Neuman函数h (1) l (x)=π2x − − − √ H (1) l+12 (x)h (2) l (x)=π2x − − − √ H (2) l+12 (x) −l阶球Hankel函数
(2)j l (x),n l (x),h (1) l (x),h (2) l (x),均为球Bessel方程(6)的线性无关的解.
n l (x)−−→ x=0 ∞
(6)→y c (x)=A l J l (x)+B l n l (x)
3.球Bessel方程的本征值问题
{r 2 R ′′ +2rR ′ +[k 2 r 2 −l(l+1)]R=0(5)R(a)=0,x=kr,y(x)=R(r)
{x 2 y ′′ +2xy ′ +[x 2 −l(l+1)]y=0(6)y(ka)=0
(k l+12 m ) 2 =(x l+12 m a ) 2 ,R(r)=j l (x l+12 ) m a r),m=1,2,⋯
其中,∫ a 0 j l (x l+12 m a r)j l (x (l+12 ) n a r)r 2 dr=∥j l n ∥ 2 δ mn
∥j l n ∥ 2 =π2k (l+12 ) n ∥J (l+12 ) n ∥ 2 =π2k (l+12 ) n ∫ a 0 J 2 l+12 (k l+12 n r)rdr
15.3.3虚宗量的Bessel函数
1.虚宗量的Bessel方程及其解
Δu+λu=0Δu=0 }−−−−→ 令u=R(ρ)Φ(φ)Z(z)
⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ Φ ′′ +n 2 Φ=0Z ′′ +μZ=0ρ 2 R ′′ +ρR ′ +(k 2 ρ 2 −n 2 )R=0(8)→n阶Bessel方程
x=kρ,R(ρ)=y(x),n→v,设k 2 =λ−μ≥0
x 2 y ′′ (x)+xy ′ (x)+(x 2 −v 2 )y(x)=0(9)−n阶Bessel方程
若{λ−μ−μ <0,记λ−μ−μ }=−k 2
(9)→x 2 y ′′ (x)+xy ′ (x)−(x 2 +v 2 )y(x)=0(10)−虚宗量Bessel方程
令z=ix
z 2 y ′′ (z)+zy ′ (z)+(z 2 −v 2 )y(z)=0(11)
y=J ±v (ix),N v (ix),H (1) v (ix),H (2) v (ix),−虚宗量Bessel方程的解
2.虚宗量的柱函数
(1)定义{I v (x)=i −v J v (ix)I −v (x)=i v J −v (ix) −第一类虚宗量的柱函数(虚宗量Bessel函数)
①当v≠n:y C (x)=A v I v (x)+B v I −v (x)
②当v=n:I −n (x)=I n (x)I −v (x)−−→ x=0 ∞
(2)定义:K v (x)=π2 I −v (x)+I v (x)sinvπ −第二类虚宗量的柱函数(Macdona函数)
(3)无论v=n与否,y C (x)=c v I v (x)+d v K v (x)K v (x)−−→ x=0 ∞
①当v≠n:I v (x)与K v (x)线性无关;
②当v=n:K n (x)=(−1) n 2 [∂I −v (x)∂v −∂I v (x)∂v ] v=n
15.3.4小结
第二类柱函数:N v (x)=∑ k=0 ∞ cosvπJ v (x)−J −v (x)sinvπJ v (x)
第三类柱函数:{H (1) v (x)=J v (x)+iN v (x)H (2) v (x)=J v (x)−iN v (x)
球Bessel函数⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ j l (x)=π2x − − − √ J l+12 (x),n l (x)=π2x − − − √ N l+12 (x),h (1) l (x)=π2x − − − √ H (1) l+12 (x),h (2) l (x)=π2x − − − √ H (2) l+12 (x)
第一类虚宗量的柱函数{I v (x)=i −v J v (ix)I −v (x)=i v J −v (ix)
第二类虚宗量的柱函数:K v (x)=π2 I −v (x)+I v (x)sinvπ
x 2 y ′′ (x)+xy ′ (x)+(x 2 −v 2 )y(x)=0(9)
→y(x)=J ±v (x),N v (x),H ±v (x)
x 2 y ′′ +2xy ′ +x 2 −l(l+1)]y=0(6)
→y(x)=j l (x),n l (x),h (1) l (x),h (2) l (x)
x 2 y ′′ (x)+xy ′ (x)−(x 2 +v 2 )y(x)=0(10)
→y(x)=I v (x),K v (x)
15.3.5例题
1.一半径为a高为h的均匀圆柱体,其上、下底面保持温度为零度,而侧面温度为u 0 ,试求柱内的稳定温度分布.
⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ Δu=0,0≤ρ≤a(1)u(a,z)=u 0 (2)u(ρ,0)=0(3)u(ρ,h)=0(4)
解:1)令u(ρ,z)=R(ρ)Z(z)
(1)→{Z ′′ +μZ=0(5)ρ 2 R ′′ +ρR ′ +(−μρ 2 −0)R=0(6)
(3)→Z(0)=0(7)(4)→Z(h)=0(8)
2)解本征值问题(5)(7)(8):
⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ Z ′′ +μZ=0(5)→μ=m 2 π 2 h 2 ,m=1,2,⋯Z(0)=0(7)Z(h)=0(8)Z m (z)=c m sinmπh z
3)解关于ρ的方程(6):
∵−μ=−m 2 π 2 h 2 <0,故记−μ=−k 2 ,x=kρ,y(x)=R(ρ)
(6)→x 2 y ′′ (x)+xy ′ (x)−(x 2 +0)y(x)=0
→R m (ρ)=y m (x)=a m I 0 (k 0 m ρ),k 0 m =mπh ,m=1,2,⋯
4)叠加，定系数:
u(ρ,z)=∑ m=1 ∞ A m I 0 (k 0 m ρ)sinmπh z
u 0 =∑ m=1 ∞ A m I 0 (mπh a)sinmπh z
A m I 0 (mπh a)=2h ∫ π 0 u 0 sinnπh zdz=2u 0 mπ [1−(−1) m ]
A 2n =0,A 2n+1 =4u 0 (2n+1)πI 0 (2n+1h πa)
u(ρ,z)=4u 0 π ∑ 0 ∞ sin2n+1h π⋅I 0 (2n+1h πρ)(2n+1)I 0 (2n+1h πa)
2.半径为a的均匀导热介质球,原来的温度为u 0 ,将它放在冰水中,使球面温度保持为零度,求球内温度的变化.
⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∂u∂t −DΔu=0(1)u| r=0 →有限(2)u| r=a =0(3)u| t=0 =u 0 (4)
解:1)令u(r,t)=R(r)T(t)(5)
⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ T ′ (t)+λDT(t)=0(6)r 2 R ′′ (r)+2rR ′ (r)+λr 2 R(r)=0(7)R(0)→有限,R(a)=0(8)
2)解本征值问题(7)(8):
λ=k 2 =(x 0+12 m a ) 2 ,R(r)=j 0 (x 12 m a r),m=1,2,⋯
λ=(mπa ) 2 ,R m (r)=amπr sinmπra ,m=1,2,⋯
3)解关于t的方程(6):
T m (t)=c m e −(mπa ) 2 Dt
4)叠加，定系数:
u(r,t)=∑ m=1 ∞ c m amπr sinmπra e −(mπa ) 2 Dt
u(r,0)=∑ m=1 ∞ c m amπr sinmπra =∑m=1 ∞ c m j 0 (mπra )=u 0
c m 1∥j (0) m ∥ 2 ∫ a 0 u 0 j 0 (x 2 m a r)r 2 dr=u 0 a∥j (0) m ∥ 2 mπ ∫ π 0 rsinmπra dr=2u 0 (−1) m−1
u(r,t)=2au 0 πr ∑ m=1 ∞ (−1) m−1 m sinmπra e −(mπa ) 2 Dt
