粒子群优化算法（一）：算法性能测试函数

---

数学优化问题需要一些函数测试算法性能，例如使用Rastrigin function测试PSO算法。Rastrigin function定义：

f(x⃗ )=An+∑i=1n[x2i−cos(2πxi)] $$f(vec{x})=An+ sum_{i=1}^{n}[x_{i}^{2}-cos(2pi x_{i})]$$

A=10,xiϵ[−5.12,5.12]$A=10, x_{i}epsilon [-5.12, 5.12]$。这里的x⃗ $vec{x}$是矢量，所以f(x⃗ )$f(vec{x})$是一个有维度的函数。Wikipedia: Rastrigin function里用加粗而非箭头表示矢量，我还眼瞎地以为是个bug。The Generalized Rastrigin Function里强调了函数的维数：

In order to define an instance of this function we need to provide the dimension of the problem (n). The optimum solution of the problem is the vector v = (0,…,0) with F(v) = 0.

二维空间，x=0$x=0$，函数取到最小值f(x)=0$f(x)=0$ ；三维空间，x=0,y=0$x=0, y=0$，函数取到最小值f(x,y)=0$f(x,y)=0$；以此类推。 之所以采用Rastrigin，是因为它的以下特点，对优化算法具有强烈的“媚惑”性：

From Wikipedia

It is a typical example of non-liner multimodal function. ”Finding the minimum of this function is fairly difficult problem due to its large search space and its large number of local minima.“

一个典型的非线性多峰函数。其大规模搜索区间和大量局部最小值，导致寻找全局最小值比较困难。

---

Wikipedia: Rastrigin function图像文件给出了matlat程序。我用python也画了一下，没有人家的好看，曲面平滑度不够。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

fig=plt.figure()
ax=Axes3D(fig)
X=np.arange(-5.12,5.12,0.1)
Y=np.arange(-5.12,5.12,0.1)
X,Y=np.meshgrid(X,Y)
Z=20+X*X+Y*Y-10*np.cos(2*np.pi*X)-10*np.cos(2*np.pi*Y)

ax.plot_surface(X,Y,Z,rstride=1,cstride=1,cmap=plt.cm.hot)
ax.contourf(X,Y,Z,zdir="z",offset=-2,cmap=plt.cm.hot)＃这句是X-Y平面加投影的
ax.set_zlim(0,100)
plt.show()

matplotlib的API没有细琢磨，修图什么的用到再学，雏形出来就好。