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Java编程那些事儿7——进制的概念

作者:陈跃峰

出自:http://blog.csdn.net/mailbomb

1.2 进制的概念

因为不可能为每个数值都创造一个符号,所以需要用基本数字组合出复合的数值,这样就有了进制的概念。

其实所有进制都是人为的创造,都是用来计数方便的。现在最常用的进制是十进制,当然其它的进制也在使用中。例如“半斤八两”这个成语,就反映了古代一斤等于十六两的概念,也就是十六进制计数方式。

计算机编程中常用的进制有二进制、八进制、十进制和十六进制,十进制还是最主要的表达形式。在编程中,大家书写的数值默认为十进制。

对于进制,有两个最基本的概念:基数和运算规则。

1. 基数

基数指一种进制中组成的基本数字,也就是不能再拆分的数字。例如十进制是0-9,二进制是0和1,八进制是0-7,十六进制是0-9,A-F(大小写均可)。或者可以简单的这样记忆,假设是n进制的话,基数就是[0,n-1]的数字,基数的个数和进制值相同,十进制有十个基数,依次类推。

2. 运算规则

运算规则就是进位或借位规则,这个类似于一般计算机书籍中位权的概念,例如对于十进制来说,该规则是“满十进一,借一当十”,也就是低位的数字满十了向高位进一,从高位借到的一,相当于低位上的十。其它的进制也是这样,对于二进制来说,就是“满二进一,借一当二”,八进制和十六进制也是这样。

在数学上表示一个数字是几进制,通常使用如下格式:[数值]进制数,例如[10]2 表示二进制数值10。

1.2.1 二进制

二进制是计算机内部数据表示的形式,所以学习计算机编程必须熟悉二进制。熟悉二进制有以下几个用途:

1. 更容易理解计算机的数据存储方式

计算机内部的很多转换,例如数据类型之间的强转,都可以用二进制解释最终的结果的值。

2. 二进制的运算速度高

二进制的运算速度比十进制高的多。例如求2的n次方,通过移位实现的效率比数学方法高效。

3. 使用二进制数值进行数据存储

以二进制的形式存储数值,一个是比较节约资源,可以使用二进制的位来存储信息,例如常见的硬件控制信息,都是二进制的形式进行提供的。

如前所述,二进制包含0和1两个基数,运算规则是“满二进一,借一当二”,下面简单的介绍一下二进制的计数方式。

例如十进制的0-9用二进制进行表达,则依次是:

0,1,10,11,100,101,110,111,1000,1001

说明:数值之间使用逗号进行间隔。

下面是二进制的一些基本运算结果:

1. 加法运算

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 10

2. 减法

0 – 0 = 0

0 – 1 = -1

1 – 0 = 1

1 – 1 = 0

3. 乘法

0 × 0 = 0

0 × 1 = 0

1 × 0 = 0

1 × 1 = 1

4. 除法

0 / 0    无意义

0 / 1 = 0

1 / 0    无意义

1 / 1 = 1

以下是一些符合的表达式:

110 + 111 = 1101

这些基本的运算结构在实际开发中一般不会直接用到,但是通过这些内容可以加深对于二进制概念的理解。

1.2.2 二进制和十进制之间的转换

由于计算机内部的数据是以二进制进行表达的,而十进制又是日常生活中最常用的进制,所以它们之间经常需要进行转换。下面介绍一下转换的方式。

1.2.2.1 十进制转换为二进制

十进制整数转换为二进制有三种方法,分别是除二取余、计算器转换和经验法。十进制小数的转换方法最后做简单的介绍。

1.除二取余法

除二取余法是转换时的最基本方法,也是最通用的方法。规则为:使用十进制和2去除,取每次得到的商和余数,用商继续和2相除,直到商为零为止,第一次得到的余数作为二进制的低位,最后一次得到的余数作为二进制的高位,由余数组成的数字就是转换后二进制的值。例如十进制的13转换为二进制的计算步骤如下:

商           余数

13 / 2 = 6            1

6   / 2 = 3            0

3   / 2 = 1            1

1   / 2 = 0            1

则计算的最终结果就是1101。

2.计算器转换

Windows操作系统中的计算器也可以很方便的实现进制之间的转换。在程序菜单中附件子菜单中打开计算器,从打开的计算器的查看菜单中,选择“科学型”,输入你要转换的十进制的数字,例如13,然后界面上数字显示框西侧的“二进制“,则转换后的数值就直接显示在计算器中。

3.经验法

对于二进制熟悉以后,那么计算十进制对应的数字可以通过一些基本的数学变换来实现,在使用经验法以前,必须熟记2的0-10次方对应的十进制的值,依次是:

1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024

则转换一些特殊的数字时可以极大的提高转换速度,例如数字65,则可以这样转换:

65 = 64 + 1

64对应的二进制形式为1000000

1对应的二进制形式为1

则65的二进制形式为1000001

这个只适合转换一些特殊的数字,适应性没有除二取余法广泛。

十进制小数的转换采用的一般方法是乘二取整法,规则为:对于小数部分先乘二,然后获得运算结果的整数部分,然后将结果中的小数部分再次乘二,直到小数部分为零为止,则把第一次得到的整数部分作为二进制小数的高位,后续的整数部分作为地位就是转换后得到的二进制小数。需要说明的是,有些十进制小数无法准确的用二进制进行表达,所以转换时符合一定的精度即可,这也是为什么计算机的浮点数运算不准确的原因。

例如0.25转换为二进制小数的步骤如下:

整数部分

0.25 × 2 = 0.5      0

0.5 × 2 = 1.0      1

则0.25转换为二进制小数为0.01

如果一个十进制数字既有整数部分,也有小数部分,则分开进行转换即可。

1.2.2.2 二进制转换为十进制

二进制转换为十进制采用的方法是:数字乘位权相加法。下面先以十进制为例来说明该方法,例如十进制数字345的值,5的位权是1,4的位权是10,3的位权是100,则有如下表达式成立: 345=5 × 1 + 4 × 10 + 3 × 100,这就是数字乘位权相加法的原理。

其实对于十进制整数的位权很有规则,从右向左第n位的位权是十的(n-1)方,例如个位是10(1-1),十位是10(2-1),依次类推。那么二进制整数的位权规律和这个一致,也就是从右向左第n位的位权是二的(n-1)方。

例如二进制整数1011转换为十进制的表达式为:

[1011]2 = 1 × 20 + 1 × 21 + 0 × 22 + 1 × 23 = 1 + 2 + 0 + 8=11

而对于二进制的小数,也是采用一样的方法,只是二进制小数的位权规则为,小数点后第一位小数的位权是2的-1次方,第二位是2的-2次方,依次类推。

例如二进制小数0.1101转换为十进制小数的表达式为

[0.1101]2=1 ×2-1 + 1 ×2-2 + 0 × 2-3 + 1 × 2-4 = 0.5 + 0.25 + 0 + 0.0625=0.8125

同理,如果二进制包含整数和小数部分,则分开进行转换即可。

1.2.3 二进制和八进制、十六进制之间的转换

虽然二进制是计算机内部的数据表达形式,但是由于二进制基数太少,则导致数字比较长,为了简化数字的书写,就创建了八进制和十六进制。八进制和十六进制就是对二进制的简化,所以二进制到八进制和十六进制的转换非常简单。

二进制整数转换为八进制的方法是“三位一并“,也就是从右侧开始,每3位二进制数字转换为八进制的一位,依次类推,因为二进制的三位数字可以表达的区间是000-111,刚好和0-7重合。例如:

二进制的10111转换为8进制为:最后三位111转换为7,前面的数字10转换为2,则转换后得到的八进制数字为27。

二进制整数转换为十六进制的方法是“四位一并“,例如10111转换为十六进制是0111转换为7,1转换为1,则转换后得到的十六进制数字是17。

二进制小数转换为八进制的方法也是“三位一并“,只是转换时从小数的高位开始,也就是小数的左侧开始。例如0.10111转换为八进制是101转换为5,110转换为6,则转换得到的八进制小数为0.56。需要特别注意的是,小数最后如果不足三位,一定要在后续补零以后再进行转换。

二进制小数转换为十六进制的方法也是“四位一并”,只是转换时从小数的高位开始。例如二进制小数0.10111转换为十六进制小数为,1011转换为b,1000转换为8,则转换后得到的十六进制是0.b8。

如果二进制数包含整数和小数部分,则分开进行转换。