第1章第1节线性表的顺序表示-数据结构与算法

一.顺序表的定义

线性表的顺序存储有称之为顺序表。它是用一组地址连续的存储单元，依次存储线性表的数据元素，从而使得逻辑上相邻的两个元素在物理上也相邻。第一个元素存储在线性表的起始位置，第i个元素的存储位置后面紧接着存储的时第i+1个元素。
因此，顺序表的特点时表中元素的逻辑顺序与物理顺序相同。
这里，我们假定元素类型为ElemType，线性表的顺序存储类型则可以描述为：

#define MaxSize 50;
typedef struct{
    ElemType data[MaxSize];
    int length;
}SqList;

这种描述有时也称为“柔性数组”。这里说明下，《数据结构与算法》中其他章节的描述部分均采用的是C语言。
一维数组可以是静态分配的，也可以是动态分配的。
在静态分配时，由于数组的大小和空间事先已经确定，一旦空间占满，再加入新的数据将会产生溢出，导致程序崩溃。比如上述描述便是采用静态分配。
当采用动态分配时，存储数组的空间是在程序执行过程中通过动态存储分配语句分配的，一旦数据空间占满，可以另外开辟一块更大的存储空间，用以替换原来的空间，从而达到扩充数组空间的目的，因此不需要一次性划分所有的所需空间给线性表，具体描述如下：

#define InitSize 100
typedef struct{
    ElemType *data;
    int MaxSize, length;
}SeqList;

初始的动态分配语句为

L.data=(ElemType*)malloc(sizeof(ElemType)*InitSize);

注：动态分配并不是链式存储，同样属于顺序存储结构，其物理结构并没有发生变化，依然是随机存取方式，只是在分配存储空间时可以在运行决定。
因为顺序表采用的时顺序存储，因此具有顺序存储的几个重要特点：

具有随机访问特性，即通过首地址和元素序号可以在O(1)的时间内找到指定元素；
存储密度高，每个节点只存储数据元素；
逻辑上相邻的元素物理上同样相邻，所以插入和删除操作需要移动大量元素。

二.顺序表上基本操作的实现

2.1插入操作

在顺序表L的第i(1≤i≤L.length+1)个位置插入新新元素e，如果i的输入不合法，则返回-1，表示插入失败；否则，将顺序表的第i个元素以及其后的元素右移一个位置，腾出一个空位置插入新元素e，顺序表长度加1，插入成功，返回0；

int ListInsert(SqList *L, int i, int e)
{
    if(i<0||i>L->length){
        printf("The postion is out of border! 
");
        return -1;
    }else if(L->length>=MaxSize){
        printf("The length more over MaxSize! 
");
        return -1;
    }else{
        int j;
        for(j=L->length;j>=i;j--){
            L->data[j]=L->data[j-1];
        }
        L->data[j]=e;
        L->length++;
        return  0;
    }
}

我们分析下时间复杂度：
最佳情况：在表尾直接插入（即i=n+1），无需移动任何元素，则时间复杂度为O(1)；
最坏情况：在表头插入即（即i=1），每个元素后移一位，即移位语句执行n次，事件复杂度为O(n)；
平均情况：假设pi(pi=1(n+1))是在第i个位置上插入一个节点的概率，则在长度为n的线性表中插入一个节点时所需移动节点的平均次数为

∑i=1n+1pi(n−i+1)=∑i=1n+11n+1(n−i+1)=1n+1∑i=1n+1(n−i+1)=1n+1n(n+1)2=n2

因此，线性插入算法的平均事件复杂度为O(n)。

2.2删除操作

删除顺序表L中第i(1≤i≤L.length)个位置的元素，成功返回0，否则返回-1，并将被删除的元素采用指针调用的方式返回。

int ListDelete(SqList *L, int i, ElemType *e)
{
    if(i<0||i>L->length){
        printf("The position over the border! 
");
        return -1;
    }
    *e=L->data[i-1];
    for(int j=i;j<L->length;j++){
        L->data[j-1]=L->data[j];
    }
    L->length--;
    return 0;
}

分析下时间复杂度：
最佳情况：删除表尾元素（即i=n），无需移动任何元素，则时间复杂度为O(1)；
最坏情况：删除表头元素（即i=1），需要移动除第一个元素外的所有元素，即移位语句执行n次，事件复杂度为O(n)；
平均情况：假设pi(pi=1n)是删除第i个位置上节点的概率，则在长度为n的线性表中删除一个节点时所需移动节点的平均次数为

∑i=1npi(n−i)=∑i=1n1n(n−i)=1n∑i=1n(n−i)=1nn(n−1)2=n−12

因此，线性删除算法的平均事件复杂度为O(n)。

2.3按值查找（顺序查找）

在顺序表L中查找第一个元素值等于e的元素，并返回其下标，否则返回-1.

int LocateElem(SqList *L, ElemType e)
{
    for(int i=0;i<L->length;i++){
        if(L->data[i]==e){
            printf("The elem is found!The Postion is %d !", i+1);
            return i+1;
        }
    }
    printf("The elem isn"t found!
");
    return -1;
}

最佳情况：需要查找的元素就在表头，仅需比较一次，其时间复杂度为O(1)；
最坏情况：需要查找的元素就在表尾，需要比较n次，时间复杂度为O(n)；
平均情况：假设pi(pi=1n)是查找第i个位置上节点的概率，则在长度为n的线性表中查找值为e时所需比较的平均次数为

∑i=1npi×i=∑i=1n1n×i=1n∑i=1n(n−i)=1n×n(n+1)2=n+12

因此，线性删除算法的平均事件复杂度为O(n)。