缓动与弹动

这一章主要讲解缓动（比例速度）和弹动（比例加速度）。

1、比例运动

比例运动 是指运动与距离成比例的运动。

缓动和弹动都是比例运动，两者关系紧密，都是将对象从已有位置移动到目标位置的方法。缓动是指物体滑动到目标点就停下来了。弹动是指物体来回地反弹一会儿，最终停在目标点的运动。

两者的共同点：

• 有一个目标点
• 确定物体到目标点的距离
• 运动与距离是成正比的----距离越远，运动的程度越大

两者的不同点：

• 运动和距离成正比的方式不一样。缓动是指 速度 与 距离 成正比（物体离目标越远，物体运动的速度越快，当物体运动到很接近目标点时，物体几乎就停下来了）；而弹动是指 加速度 与 距离 成正比（物体离目标点越远，加速度就快速增大，当物体很接近目标点时，加速度变得很小，但它还是在加速；当它越过目标点之后，随着距离的变大，反向加速度也随之变大，就会把它拉回了，最终在摩擦力的作用下停住。）

2、缓动

缓动的类型不止一种，我们可以“缓入”（ease in）到一个位置，也可以从一个位置“缓出”（ease out）。

在现实生活中，相信大家都坐过公交（自动过滤土豪），在宽敞的马路上时，公交会高速前进，特别是车少的道路，司机会开的尽可能快（限速之内），当快要达到一个站点时，司机就会适当的减速。当公交还有几米就要停下来的时候，速度已经很慢很慢了。这就是一种缓动。

如何实现缓动呢？

一般来说，我们会如下处理：

• 为运动确定一个小于1且大于0的小数作为比例系数(easing)
• 确定目标点
• 计算物体与目标点的距离
• 计算速度，速度=距离 * 比例系数
• 用当前位置加上速度来计算新的位置
• 不断重复第3步到第5步，直到物体到达目标点

缓动的整个过程并不复杂，我们需要知道距离（物体与目标点（target）之间，变化值）、比例系数（easing，速度除以距离）。

dx = targetX - ball.x;
dy = targetY - ball.y;

easing = vx / dx;  =>   vx = dx * easing;
easing = vy / dy;  =>   vy = dy * easing;

根据《速度与加速度》那一章的公式：

ball.x += vx;  =>  ball.x += dx*easing;  =>  ball.x += (targetX - ball.x) * easing;
ball.y += vy;  =>  ball.y += dy*easing;  =>  ball.y += (targetY - ball.y) * easing;

最终缓动公式：

ball.x += (targetX - ball.x) * easing;
ball.y += (targetY - ball.y) * easing;

实例：canvas-demo/easing.html

关键代码：

var easing = 0.05;   
var targetX = canvas.width - 10;   
var targetY = canvas.height - 10;

在上面的例子中，我们将比例系数设为0.05，用变量easing表示，然后在循环中调用下面的代码：

ball.x += (targetX- ball.x)*easing;  //每次循环中调用

这样简单的处理，就能实现刹车模式，这就是缓动的一种效果，你可以改变easing看看。

上面的例子中的目标点是canvas边界，其实，目标点是可以 变动 的，因为我们每次都会重新计算距离，所以只须在播放每一帧的时候知道目标点的位置，然后就可以计算距离和速度了。比如：将鼠标位置（mouse.x和mouse.y）作为目标点，你可以试试，会发现鼠标里的越远，小球就运动的越快。

这里还有一个关键性问题：何时停止缓动

不是到达目标点就停止缓动吗？估计这是你看到这的第一想法，你还可能立即想到下面判断公式：

if(ball.x === targetX && ball.y === targetY){
  //到达目标点
}

这是理论上的判断，但是从数学的角度来看，下面的公式永远不会相等：

(ball.x + (targetX - ball.x) * easing) !== targetX

这是为什么呢？

这就涉及了 芝诺饽论 ，简单的理解是这样：为了把一个物体从A点移到B点，就必须把它先移到到A和B的中间点C，然后再移到C和B的中间点，然后再折半，不断地重复下去，每次移到到物体到距离目标点的一半，这样就会进入无穷循环下去，物体永远不会到达目标点。

我们来看看数学例子：物体从0的位置，要将它移到100，比例系数easing设为0.,5，然后将它每次移动距离的一半，过程如下：

• 从原点开始，在第一帧后，它移到到50
• 在第二帧后，移动到75
• 在第三帧后，移动到87.5
• 就这样循环下去，物体位置变化是93.75、96.875等，经过20帧后，它的位置是99.999809265
  看到没有，它会离目标点越来越近，可是理论上是永远不会到达目标点的，所以上面的判断公式是永远不会返回true的。

但毕竟肉眼是无法分辨这么精确的位置变化的，有时候当ball.x 等于99的时候，我们在canvas上看就已经是到达终点了，所以这就产生了一个问题：多近才是足够近呢？

这就需要我们人为的指定一个特定值，判断物体到目标点的距离是否小于特定值，如果小于特定值，那我们就认为它到达终点了。

/*二维坐标*/

distance = Math.sqrt(dx * dx + dy * dy);

/*一维坐标*/
distance = Math.abs(dx)

if(distance < 1){
  console.log("到达终点");
  cancelAnimationFrame(requestID);
}

一般采取是否小于1来判断是否到达目标点，是为了停止动画，避免资源的浪费。

在tool.js工具类中，我们已经封装了停止 requestAnimaitonFrame 动画的方法，就是 cancelRequestAnimationFrame ，参数是requestID。

var cancelAnimationFrame = function() {   

  return window.cancelAnimationFrame || window.webkitCancelAnimationFrame || window.mozCancelAnimationFrame || function(id) {   
    clearTimeout(id);   
  };  
}();

当然，缓动并不仅仅适用于运动，它还可以应用很多属性：

（1）旋转

定义起始角度：

var rotation = 0;
var targetRotation = 360;

然后缓动：

rotation += (targetRotation - rotation) * easing;
object.rotation = rotation * Math.PI / 180;

别忘了弧度与角度的转换。

（2）透明度

设置起始透明度

var alpha = 0;
var targetAlpha = 1;

设置缓动：

alpha += (targetAlpha - alpha) * easing;
object.color = "rgba(255,0,0," + alpha + ")";

2、弹动

前面提到过，在弹动中，物体的 加速度 与它到目标点的 距离 成正比。

现实中的弹动例子：在橡皮筋的一头系上一个小球（悬空，静止时的点就是目标点），另一头固定起来。当我们用力（力足够大）去拉小球然后松开，我们会看到小球反复的上下运动几次后，速度逐渐慢下来，停在目标点上。（没玩过橡皮筋的，可以去实践一下）

2.1 一维坐标上的弹动

实现弹动的代码和缓动类似，只不过将速度换成了加速度(spring)。

var spring = 0.1;
var targetX = canvas.width / 2;
var vx = 0;

计算小球到目标点的距离：

var dx = targetX - ball.x;

计算加速度，与距离是成比例的：

var ax = dx * spring;

将加速度加在速度上，然后添加到小球的位置上：

vx += ax;
ball.x += vx;

我们先模拟一下整个弹动过程，假设小球的x是0，vx也是0，目标点的x是100，spring变量的值为0.1：

• 用距离（100）乘以spring，得到10，将它加在vx上，vx变为10，把vx加在小球的位置上，小球的x为10
• 下一帧，距离（100-10）为90，加速度为90乘以0.1，等于9，加在vx上，vx就变为19，小球的x变为了29
• 再下一帧，距离是71，加速度是7.1，vx是26.1，小球的x为55.1

重复几次后，随着小球一帧一帧的靠近目标，加速度变得越来越小，速度越来越快，虽然增加的幅度在减小，但还是在增加。

当小球越过了目标点，到底了x轴上的117点时，与目标点的距离是-17（100-117）了，也就是加速度会是-1.7，当速度加上这个加速度时，小球就会减速运动。

这就是弹动的过程。

看看实例（目标点定在canvas的中心点，相当于将球从中心点拉到左边，然后松开）：canvas-demo/spring.html

上面的例子中，小球是不是有种被弹簧拉扯的效果，但是，由于小球的摆动幅度不变，它现在貌似停不下来，这不科学，现实中，它的摆动幅度应该是越来越小（由于阻力），弹动的越来越慢，直到停下来，所以为了更真实，我们应该给它添加一个摩擦力friction：

var friction = 0.95;

然后改变速度：

vx += ax;
vx *= friction;
ball.x += vx;

当小球停止时，我们就不需去执行动画了，所以我们还需要判断是否停止：

if(Math.abs(vx) < 0.001){
  vx += ax;  
  vx *= friction;  
  ball.x += vx;
};

注意：当你的初始速度vx为0时，这样是无法进入弹动的，对我来说，我会加入一个变量判断是否开始弹动：

var isBegin = false;

if(!isBegin || Math.abs(vx) < 0.001){
  vx += ax;     
  vx *= friction;     
  ball.x += vx;
  isBegin = true;
};

2.2 二维坐标上的弹动

二维坐标上的弹动与一维坐标上的弹动并没有大区别，只不过前者多了y轴上的弹动。

初始化变量：

var vx = 0;   
var ax = 0;   
var vy = 0;   
var ay = 0;
var dx = 0;
var dy = 0;

设置x、y轴上的弹动：

if(Math.abs(vx) > 0.001){
  dx = targetX - ball.x;
  ax = dx * spring;   
  vx += ax;   
  vx *= friction;   
  ball.x += vx;
  dy = targetY - ball.y;   
  ay = dy * spring;   
  vy += ay;   
  vy *= friction;   
  ball.y += vy;   
};

例子（将canvas的中心点作为目标点，相当于一开始将球从中心点拉到左上角，然后松开）：canvas-demo/spring2.html

上面的例子依旧是一个直线弹动，你可以试试将vx或vy的初始值增大一点，设为50，会有意想不到的动画。

2.3 向移动的目标点弹动

在缓动中也说过，目标点不一定是固定，而对于弹动也一样，目标点可以是移动的，只需在每一帧改变目标点的坐标值即可，比如：鼠标坐标是目标点：

dx = targetX - ball.x;
dy = targetY - ball.y;

/*改成如下*/

dx = mouse.x - ball.x;  
dy = mouse.y - ball.y;

2.4 绘制弹簧

在上面的几个例子中，虽然有了弹簧的效果，可是始终还是没看到橡皮筋所在，所以我们有必要来将橡皮筋绘画出来：

ctx.beginPath();
ctx.moveTo(ball.x,ball.y);
ctx.lineTo(mouse.x,mouse.y);
ctx.stroke();

实例：canvas-demo/spring3.html

为了更真实，你还可以加上重力加速度：

var gravity = 2;
vy += gravity;

注意：在物理学中，重力是一个常数，只由你所在星球的质量来决定的。理论上，应该保持gravity值不变，比如0.5，然后给物体增加一个mass（质量）属性，比如10，然后用mass乘以gravity得到5（依旧用gravity变量表示）。

2.5 链式弹动

链式运动是指物体A以物体B为目标点，物体B又以物体C为目标点，诸如此类的运动。

看看例子，然后再来分析：canvas-demo/spring4.html

在上面的例子中，我们创建了四个球，每个球都有自己的属性 vx 和 vy ，初始为0。在动画函数 animation 里，我们使用Array.forEach()方法来绘制每一个球，然后连线。在 connect 方法中，你可以看到第一个球的目标点是鼠标位置，剩余的球都是以上一个球（balles[i-1]）的坐标位置为目标点来弹动。

我还给球添加了重力：

ball.vy += gravity;

运动结束时，四个球会连成一串。

2.6 目标偏移量

在上面的所有例子中，我们使用的都是模拟橡皮筋，如果我们模拟的是一个弹性金属材料制作的弹簧会怎样呢？是不是球还可以这样自由的运动呢？

答案是否定，在现实中，你无法让物体顶着弹簧从一头运动到另一头，还不明白？看下图：

假设上面的图中连接球和固定点是金属弹簧，那么球是永远都到不了固定点的位置的，因为弹簧是有体积的，会把球挡住，而且一旦弹簧收缩到它正常的长度，它就不会对小球施加拉力了，所以，真正的目标点，其实是弹簧处于松弛（拉伸）状态时，系着小球那一端的那个点（这个点是变化的）。

那如何确定目标点呢？

其实，从我上面的图你就应该想到，要用三角函数，因为我们知道球的位置、固定点的位置，那我们就可以获得球与固定点之间的夹角 θ ，当然，我们还需要定义一个弹簧的长度(springLength)，比如：100。

计算目标点的代码如下：

dx = ball.x - fixedX;
dy = ball.y -fixedY;
angle = Math.atan2(dy,dx);
targetX = fixedX + Math.cos(angle) * springLength;
targetY = fixedY + Math.sin(angle) * springLength;

又到了例子时刻（以canvas的中心点为固定点，弹簧长度为100，小球可拖动）：canvas-demo/spring5.html

试过上面例子了吗？我们再来看看上面的图：

图中的A点相当于例子中的固定点（也就是canvas的中心点），B点是弹簧（无压缩无拉伸）正常情况下的位置（也是弹动的目标点），C点就是你拖动小球然后松开鼠标的位置，那么AB之间的距离就是弹簧的长度100，而BC之间的距离就是小球弹动的距离了，同时，基于直角三角形，我们也很容易求得 θ 的值。

我们还定义了一个 getBound() 方法，传入球对象，返回一个矩形对象，也就是球的矩形边界。

例子的部分代码：

dx = ballA.x - mouse.x;   
dy = ballA.y - mouse.y;   
angle = Math.atan2(dy, dx); // 获取鼠标与球之间的夹角θ   

//计算目标点坐标   

targetX = mouse.x + Math.cos(angle) * springLength;   
targetY = mouse.y + Math.sin(angle) * springLength;   
ballA.vx += (targetX - ballA.x) * spring;   
ballA.vy += (targetY - ballA.y) * spring;   
ballA.vx *= friction;   
ballA.vy *= friction;   
ballA.x += ballA.vx;   
ballA.y += ballA.vy;

2.7 用弹簧连接多个物体

我们还可以用弹簧连接多个物体，先从连接两个物体开始，让它们互相向对方弹动，移动其中一个，另一个就要跟随弹动过去：

上例子：canvas-demo/spring6.html

在上面的例子中，我们创建了两个Ball实例 ball0 和 ball1 ，都是可拖动的，ball0向ball1弹动，ball1向ball0弹动，而且它们之间有一定的偏移量，两者用弹簧连接。

springTo() 方法接受两个参数，第一个参数是移动物体，第二个参数是目标点。还要引入两个变量： ball0_dragging 和 ball1_dragging ，作为是否拖动小球的标志。

if(!ball0_dragging) {   
  springTo(ball0, ball1);   
};   

if(!ball1_dragging) {   
  springTo(ball1, ball0);   
};

下面让我们加入第三个球ball2：canvas-demo/spring7.html

总结

本章主要介绍了两个比例运动：缓动和弹动

缓动是指 速度 与 距离 成正比（物体离目标越远，物体运动的速度越快，当物体运动到很接近目标点时，物体几乎就停下来了）；
弹动是指 加速度 与 距离 成正比（物体离目标点越远，加速度就快速增大，当物体很接近目标点时，加速度变得很小，但它还是在加速；当它越过目标点之后，随着距离的变大，反向加速度也随之变大，就会把它拉回了，最终在摩擦力的作用下停住。）

附录

重要公式：

（1）简单缓动

dx = targetX - object.x;
dy = targetY - object.y;
vx = dx * easing;
vy = dy * easing;
object.x += vx;
object.y += vy;

可精简：

vx = (targetX - object.x) * easing;
vy = (targetY - object.y) * easing;
object.x += vx;
object.y += vy;

再精简：

object.x += (targetX - object.x) * easing;

object.y += (targetY - object.y) * easing;

（2）简单弹动

ax = (targetX - object.x) * spring;
ay = (targetY - object.y) * spring;
vx += ax;
vy += ay;
vx *= friction;
vy *= friction;
object.x += vx;
object.y += vy;

可精简：

vx += (targetX - object.x) * spring;
vy += (targetY - object.y) * spring;
vx *= friction;
vy *= friction;
object.x += vx;
object.y += vy;

再精简：

vx += (targetX - object.x) * spring;
vy += (targetY - object.y) * spring;
object.x += (vx *= friction);
object.y += (vy *= friction);

（3）有偏移的弹动

dx = object.x - fixedX;
dy = object.y - fixedY;
targetX = fixedX + Math.cos(angle) * springLength;
targetY = fixedY + Math.sin(angle) * springLength;