一，一维信号的拓延

在Mallat算法的推导中,假定输入序列是无限长的,而实际应用中常常是分时采样,即输入序列为有限长.此时,滤波器系数与输入序列卷积时就会出现轮空的现象.因此有必要对原始信号进行边界延拓,减小边界误差.解决的方法通常有补零法和周期延拓法.

1)补零法是在输入序列的末尾补零.补零法的缺点是可能人为造成输入序列边界的不连续,从而使得较高频率的小波系数很大.

2)周期延拓法是将原来有限长的输入序列拓展成周期的序列.周期延拓可适用于任何小波变换,但可能导致输入序列边缘的不连续,使得高频系数较大.这种方式的拓延卷积后与源信号的长度一致。

3)对称延拓（matlab默认采取这种方式）可避免输入序列边缘的不连续,但只适用于对称小波变换.本文根据Mallat算法公式,编写了对称延拓方式的小波变换的一般实现方法.

注：笔者采用的编译器为VS2013，当前系统为win10。

1，常见的3种边缘拓延方法

设输入信号为f(n),长度为srcLen,滤波器长度为filterLen.下面给出信号边界处理几种方法的具体表达式如下：

1）周期拓延：

            f(n+ srcLen)   ,  -(filterLen -1)≤ n< 0
  f′(n)=  f(n)                 ,  0≤ n≤ srcLen -1
            f(n -srcLen)    ,  srcLen -1< n≤srcLen+filterLen -2

举例说明：以“1 2 3 4 5 6 7 8”这个长度为8的信号为例，当滤波器的长度为4时，其具体的拓延长度为6（单边为3）：

6 7 8 （1 2 3 4 5 6 7 8）1 2 3

2）对称延拓（本文重点）

            f(-n -1)                     ,   -(filterLen-1)≤ n< 0
f′(n)=    f(n)                          ,   0≤ n≤srcLen-1
            f(2srcLen -n -1)       ,   srcLen-1< n≤ srcLen+ filterLen-2

举例说明：以“1 2 3 4 5 6 7 8”这个长度为8的信号为例，当滤波器的长度为4时，其具体的拓延长度为6（单边为3）：

3 2 1 （1 2 3 4 5 6 7 8）8 7 6

3）零值填补

             0                ,   -(filterLen -1)≤ n< 0
f′(n)=     f(n)            ,  0≤ n≤srcLen -1

             0                ,  srcLen -1< n≤srcLen+filterLen -2

举例说明：以“1 2 3 4 5 6 7 8”这个长度为8的信号为例，当滤波器的长度为4时，其具体的拓延长度为6（单边为3）：

0 0 0 （1 2 3 4 5 6 7 8）0 0 0 

二，Mallat算法分解过程

在Mallat算法中,信号分解过程按照系数形式,

其中:hd(n)和gd(n)分别为分解的低通和高通滤波器系数,长度为filterLen .

吐槽：信号滤波的过程其实就是滤波器与信号卷积的过程，也就是滤波器的频谱和信号的频谱相乘的过程。

那么低通滤波器频谱是高频低，低频高，与信号相乘时高频的会被过滤掉；高通滤波器同理！

1，详细的分解过程

以db2小波为例，通过对称拓延后的详细计算过程如下：

从上图可知，小波的Mallat算法分解后的序列长度由原序列长srcLen和滤波器长filterLen决定。从Mallat算法（采用对称拓延）的分解原理可知，分解后的序列就是原序列与滤波器序列的卷积再进行隔点抽取而来。即分解抽取的结果长度为(srcLen+filterLen-1)/2。

上述方法也是matlab默认采取的方法，在MATLAB中输入代码，查看结果便知：

[Lo_D,Hi_D,Lo_R,Hi_R] = wfilters("db2");%获取小波系数
xx=[420.2, 423.53, 423.52, 423.35, 424.52, 428, 430.79, 428.92];
wname="db2";
level=1;
[c,l]=wavedec(xx,level,wname);%进行一层分解

结果为（被存储在系数矩阵c中，l记录的是每段系数的长度）：

595.429871699852  597.374655846484598.449909371632 604.108998389031607.245626013478

-2.03920021086643   0.509501871423169-1.289053089583672.33989974581161  -1.14513645475084

与上图一致

2，C++实现分解算法

获取db2小波系数：

//系数精度很高，采自matlab
extern double db2_Lo_D[4] = { -0.129409522550921, 0.224143868041857, 0.836516303737469, 0.482962913144690 };
extern double db2_Hi_D[4] = { -0.482962913144690, 0.836516303737469, -0.224143868041857, -0.129409522550921 };
extern double db2_Lo_R[4] = { 0.482962913144690, 0.836516303737469, 0.224143868041857, -0.129409522550921 };
extern double db2_Hi_R[4] = { -0.129409522550921, -0.224143868041857, 0.836516303737469, -0.482962913144690 };

C++实现如下：

// 一维信号的小波分解
int  CWavelet::DWT(
	double *pSrcData,//分解的源信号
	int srcLen,//源信号的长度
	double *pDstCeof//分解出来的,本函数将返回此长度
	)
{
	//本程序禁止出现这种情况，否则数据出错（对称拓延长度为filterLen-1，如果大于了signalLen将越界）
	
	if (srcLen < m_dbFilter.filterLen - 1)
	{	//实际上信号的长度可以是任意的（matlab顺序：信号拓延-》卷积-》下采样），
		//但是本程序为了算法速度，写法上不允许
		cerr << "错误信息：滤波器长度大于信号!" << endl;
		Sleep(1000);
		exit(1);
	}
	int exLen = (srcLen + m_dbFilter.filterLen - 1) / 2;//对称拓延后系数的长度
	int k = 0;
	double tmp = 0.0;
	for (int i = 0; i < exLen; i++)
	{

		pDstCeof[i] = 0.0;
		pDstCeof[i + exLen] = 0.0;
		for (int j = 0; j < m_dbFilter.filterLen; j++)
		{
			k = 2 * i - j + 1;
			//信号边沿对称延拓
			if ((k<0) && (k >= -m_dbFilter.filterLen + 1))//左边沿拓延
				tmp = pSrcData[-k - 1];
			else if ((k >= 0) && (k <= srcLen - 1))//保持不变
				tmp = pSrcData[k];
			else if ((k>srcLen - 1) && (k <= (srcLen + m_dbFilter.filterLen - 2)))//右边沿拓延
				tmp = pSrcData[2 * srcLen - k - 1];
			else
				tmp = 0.0;
			pDstCeof[i] += m_dbFilter.Lo_D[j] * tmp;
			pDstCeof[i + exLen] += m_dbFilter.Hi_D[j] * tmp;
		}
	}
	return 2 * exLen;
}

处理结果为：（与matlab一致）

附带测试主函数：

int main()
{
	system("color 0A");
	double s[8] = { 420.2, 423.53, 423.52, 423.35, 424.52, 428, 430.79, 428.92};
	int signalLen = sizeof(s) / sizeof(double);
	cout << "原始信号：" << endl;
	for (int i = 0; i < signalLen; i++)
		cout << s[i] << " ";
	cout << endl;
	CWavelet cw(2);
	double *dst = new double[10];
	cw.DWT(s, signalLen,dst);
	cout << "分解后的系数：" << endl;
	for (int i = 0; i < 10; i++)
		cout << dst[i] << " ";
	cout << endl;
	delete[] dst;
	dst = NULL;
	system("pause");
	return 0;
}

三，Mallat算法重构过程

1，详细的重构过程

以db2小波为例，通过对称拓延后的详细重构过程如下：

在matlab中我们可以通过以下代码实现重构（完全实现原信号）

[Lo_D,Hi_D,Lo_R,Hi_R] = wfilters("db2");%获取小波系数
xx=[420.2, 423.53, 423.52, 423.35, 424.52, 428, 430.79, 428.92];
wname="db2";
level=1;
[c,l]=wavedec(xx,level,wname);%进行一层分解
cc=waverec(c,l,wname);

2，C++实现重构算法

// 一维小波反变换，重构出源信号
void  CWavelet::IDWT(
	double *pSrcCoef,//源分解系数
	int dstLen,//重构出来的系数的长度
	double *pDstData//重构出来的系数
	)
{
	int p = 0;
	int caLen = (dstLen + m_dbFilter.filterLen - 1) / 2;
	for (int i = 0; i < dstLen; i++)
	{
		pDstData[i] = 0.0;
		for (int j = 0; j < caLen; j++)
		{
			p = i - 2 * j + m_dbFilter.filterLen - 2;
			//信号重构
			if ((p >= 0) && (p<m_dbFilter.filterLen))
				pDstData[i] += m_dbFilter.Lo_R[p] * pSrcCoef[j] + m_dbFilter.Hi_R[p] * pSrcCoef[j + caLen];
		}
	}
}

处理结果（与matlab一致）

附带测试主函数：

int main()
{
	system("color 0A");
	double s[8] = { 420.2, 423.53, 423.52, 423.35, 424.52, 428, 430.79, 428.92};
	int signalLen = sizeof(s) / sizeof(double);
	cout << "原始信号：" << endl;
	for (int i = 0; i < signalLen; i++)
		cout << s[i] << " ";
	cout << endl;
	CWavelet cw(2);
	double *dst = new double[10];
	cw.DWT(s, signalLen,dst);
	cout << "分解后的系数：" << endl;
	for (int i = 0; i < 10; i++)
		cout << dst[i] << " ";
	cout << endl;

	double *dstsrc = new double[signalLen];
	cw.IDWT(dst, signalLen, dstsrc);
	cout << "重构后的系数：" << endl;
	for (int i = 0; i < signalLen; i++)
		cout << dstsrc[i] << " ";
	cout << endl;
	delete[] dstsrc;
	dstsrc = NULL;
	delete[] dst;
	dst = NULL;
	system("pause");
	return 0;
}

参考资源：

【1】乔世杰.小波图像编码中的对称边界延拓法[ J].中国图像图形学报,2000,5(2):725-729.