最长递增子序列

http://blog.csdn.net/lisonglisonglisong/article/details/45241965

最长递增子序列（Longest Increasing Subsequence）是指找到一个给定序列的最长子序列的长度，使得子序列中的所有元素单调递增。

例如：{ 3，5，7，1，2，8 } 的 LIS 是 { 3，5，7，8 }，长度为 4。

解法一：转化为求最长公共子序列

其实可以把 求最长递增子序列问题 转化为 求最长公共子序列的问题。

• 设数组 { 3， 5， 7， 1， 2， 8 } 为 A
• 对数组 A 排序，排序后的数组为 B = { 1， 2， 3， 5， 7， 8 }。
• 于是，求数组 A 的最长递增子序列，就是求数组 A 与数组 B 的最长公共子序列。

最长公共子序列的求法见《动态规划DP》。本方法的时间复杂度是

Θ(nlgn)+Θ(n2)=Θ(n2)

解法二：动态规划法

虽然解法一也是使用动态规划，但是与解法一不同的是，解法二不进行转化，而是直接在原问题上采用动态规划法。

最优子结构：

对于长度为 N 的数组 A[N]={a0,a1,a2,…,an−1}，假设我们想求以ai 结尾的最大递增子序列长度，设为L[i]，那么

L[i]=⎧⎩⎨max(L[j])+1,1,where j<i and A[j]<A[i]otherwise

也就是 j 的范围是 0 到 i–1。这样，想求ai 结尾的最大递增子序列的长度，我们就需要遍历 i 之前的所有位置 j（0到 i-1），找出A[j]<A[i]，计算这些j 中，能产生最大 L[j] 的 j，之后就可以求出L[i]。之后对每一个A[N]中的元素都计算以他们各自结尾的最大递增子序列的长度，这些长度的最大值，就是我们要求的问题——数组A的最大递增子序列的长度。

重叠子问题：

根据上述推导式采用递归实现的话，有些子问题会被计算很多次。

动态规划法：

综上所述，LIS 问题具有动态规划需要的两个性质，可以使用动态规划求解该问题。设数组 A = { 3，5，7，1，2，8 }，则：

具体的打表方式如下：

• 初始化对角线为 1；

• 对每一个 i，遍历 j（0 到 i-1）：

• 若A[i] <= A[j]，置 1。

• 若A[i] > A[j]，取第 j 行的最大值加 1。

打完表以后，最后一行的最大值就是最长递增子序列的长度。由于每次都进行遍历，故时间复杂度还是 Θ(n2)。

// LIS 的动态规划方式实现
#include <iostream>
using namespace std;

int getLISLength(int A[], int len) {
   //定义一维数组并初始化为1
   int* lis = new int[len];  
   for (int i = 0; i < len; ++i) 
      lis[i] = 1;

   // 计算每个i对应的lis最大值，即打表的过程
   for (int i = 1; i < len; ++i)
      for (int j = 0; j < i; ++j)     // 0到i-1
         if ( A[i] > A[j] && lis[i] < lis[j] + 1)
            lis[i] = lis[j] + 1;  // 更新

   // 数组中最大的那个，就是最长递增子序列的长度
   int maxlis = 0;
   for (int i = 0; i < len; ++i)
      if ( maxlis < lis[i] )
         maxlis = lis[i];

   delete [] lis;
   return maxlis;
}

解法三：Θ(nlgn)的方案

本解法的具体操作如下：

• 建立一个辅助数组array，依次读取数组元素 x 与数组末尾元素 top比较：

• 如果 x > top，将 x 放到数组末尾；

• 如果 x < top，则二分查找数组中第一个 大于等于x 的数，并用 x 替换它。

遍历结束之后，最长递增序列长度即为栈的大小。

注意c数组的下标代表的是子序列的长度，c数组中的值也是按递增顺序排列的。这才可能用二分查找。

数组array[i]存储的是子序列长度为i的序列最后一个值（该值是该子序列中最大的元素；如果长度为i的序列有多个，那么array[i]存放这类序列最后元素中的最小一个）

int getLISLength(int num[], int length) {
 vector<int> ivec;
 for (int i = 0; i < length; ++i) {
     if (ivec.size() == 0 || ivec.back() < num[i])
         ivec.push_back(num[i]);
     else {
         int low = 0, high = ivec.size() - 1;
         while (low < high) {
             int mid = (low + high) / 2;
             if (ivec[mid] < num[i])
                 low = mid + 1;
             else
                 high = mid - 1;
         }
         ivec[low] =  num[i];
     }
 }
 return ivec.size();
}

特别注意的是：本方法只能用于求最长递增子序列的长度，辅助数组中的序列不是最长递增子序列：

• 例一：原序列为1，5，8，3，6，7
  辅助数组为1，5，8，此时读到3，用3替换5，得到1，3，8； 再读6，用6替换8，得到1，3，6；再读7，得到最终栈为1，3，6，7。最长递增子序列为长度4。

• 例二：原序列为1，5，8，3
  则最栈辅助数组为1，3，8。明显这不是最长递增子序列！

合唱队问题

8

               </pre></td></tr><tr><td class="grid_left_td">样例输出:</td><td><pre>4

                </pre></td></tr></tbody></table>

    #include <iostream>  
    #include <vector>  
    using namespace std;  
      
    int LonggestIncreaseLength(vector<int> &vec) {  
        vector<int> result(vec.size(), 1);  
        vector<int> result2(vec.size(), 1);  
        for (int i = 1; i < vec.size(); i++) {  
            for (int j = 0; j < i; j++) {  
                if (vec[i] > vec[j] && result[i] < result[j] + 1)  
                    result[i] = result[j] + 1;  
            }  
        }  
      
        for (int i = vec.size() - 2; i >= 0; --i) {  
            for (int j = vec.size() - 1; j > i; --j) {  
                if (vec[i] > vec[j] && result2[i] < result2[j] + 1)  
                    result2[i] = result2[j] + 1;  
            }  
        }  
        int max = 0;  
        for (int i = 0; i < vec.size(); i++) {  
            if (max < result[i] + result2[i])  
                max = result[i] + result2[i];  
        }  
        return vec.size() - max + 1;  
    }  
    int main() {  
        int n;  
        cin >> n;  
        if (n <= 0)  
            return 0;  
        vector<int> ivec(n);  
        for (int i = 0; i < n; i++)  
            cin >> ivec[i];  
        cout << LonggestIncreaseLength(ivec) << endl;  
    }